Tesis terminada. ¿Las matemáticas fueron creadas o descubiertas? por José Santander

¿LAS MATEMÁTICAS FUERON CREADAS O DESCUBIERTAS?

Por José Ignacio Santander



Índice:

PRÓLOGO............................................. 3

DESARROLLO.......................................... 8
1. Descubrimiento y creación..................... 8
2. Las matemáticas y el conocimiento ............ 12
3. Paradoja de Russell........................... 16
4. El mundo abstracto............................ 19
5. Génesis de las matemáticas.................... 20
6. Materias primas de las matemáticas............ 24

CONCLUSIÓN
1. Acercamiento a una respuesta.................. 25

BIBLIOGRAFÍA........................................ 28

Prólogo:

Desde que el hombre esta en el mundo, es creador de cultura, y desde siempre, ha tratado de comprenderla para poder hacer el mundo un poco mejor y convertirlo en un lugar más habitable. Este entendimiento, que es el proceso en el que el hombre describe, analiza, verifica y hace exacto un problema, hoy en día lo conocemos como ciencia. Pero no toda esta ciencia es objetiva, tenemos una ciencia, llamada ciencia formal, la cual es racional, sistemática y verificable teniendo como principales patrones a la lógica y a la matemática, y es aquí donde el hombre se pregunta, si esta ciencia formal, fue una perfecta creación puramente antropológica, o tiene su origen en la madre naturaleza.
Es así como surge mi pregunta:

¿Las Matemáticas se crearon o fueron descubiertas?

Antes de adentrarnos en esta tesis, es bueno hacer una breve explicación sobre lo que es ciencia, fundamentalmente la diferencia entre ciencia formal y ciencia fáctica.No todas las investigaciones científicas ni el conocimiento, son objetivos. Pueden ser racionales, sistemáticos o verificables, pero no objetivos.

Partiremos hablando de las ciencias formales; de las cuáles, un ejemplo es la Lógica y la Matemática, los cuales tratan de “Entes Ideales”, de valores abstractos, los cuales solo existen en la mente del ser humano. Es importante saber que la materia prima que usan los matemáticos y los lógicos, no es fáctica, sino ideal. Un ejemplo en las matemáticas, los números, que representan objetos materiales pero que solo existen en nuestro cerebro. Las ciencias formales nunca entran en conflicto con la realidad, pero se aplican a la vida cotidiana. Es Universal.

Es importante saber que cuando se demuestra un teorema lógico o matemático, no se recurre a la experiencia, sino que a la Deducción. Es por eso que decimos que la matemática y la lógica son Ciencias Deductivas, su punto de partida, o su base, son Axiomas, es decir, pueden desarrollarse sin poner atención al problema de la verdad.

Esto significa que lo general, lo constituye precisamente el axioma y desde ahí nace el conocimiento que permite deducir la conclusión.

Ejemplo: “Si un triangulo es un triangulo recto, entonces la suma de los cuadrados de la medida de los catetos es igual a la medida de los cuadrados de la hipotenusa.” PITAGORAS.

Ahora, diferente es el caso de las Ciencias Fácticas, pues ellas no emplean símbolos vacíos, sino que símbolos interpretados. Se basan en la racionalidad y sus enunciados son verificables en la experiencia, es por eso que también se le llama Ciencia Empírica.

Ejemplo: “La aceleración que adquiere un objeto, por efecto de una fuerza resultante, es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza resultante, tiene la misma dirección y es inversamente proporcional a la masa del objeto” SEGUNDA LEY DE NEWTON.

Entonces, para entender mejor a esta diferencia, podríamos decir que las ciencias formales demuestran o prueban, las ciencias fácticas verifican (confirman o desconforman).

Siguiendo con el tema, desde que integro el electivo de matemática, he tratado de comprender a fondo el significado de esta ciencia, me he adentrado en un mundo donde solo existe lo abstracto y lo regular, y he tratado muchas veces de responderme, de porqué las matemáticas son las supuestas “reinas de las ciencias”.

Pero; ¿Qué son las matemáticas exactamente?

Del griego μάθημα, (máthema) que significa “ciencia” o “conocimiento”, podemos decir entonces que es la ciencia que estudia lo propio de las regularidades, de las cantidades, de las formas, y de la relación que hay entre ellos. Muchos matemáticos no la consideran como una ciencia, más bien como una forma de arte, otros no la consideran una ciencia fáctica, ya que se basa en lo abstracto y no en lo empírico, pero las estructuras que los matemáticos investigan sí tienen su origen en las mismas ciencias fácticas, y muchas veces se encuentran aplicadas en ellas, como por ejemplo, en la Física. Si somos más informales, podríamos decir que las matemáticas son el estudio de los números y símbolos, podríamos decir también que son la investigación de estructuras abstractas que surgen a partir de axiomas, o también que son las ciencias de las relaciones espaciales y cuantitativas.

Es importante decir, que el objeto de las matemáticas no es la realidad, sino el pensamiento, el número “pi” por ejemplo se llama imaginario porque no tiene existencia real, o también, una circunferencia perfecta está solo en nuestra mente. Como vemos, tenemos un amplio espectro de posibilidades con los que podríamos definir a las matemáticas, pero lo más importante con lo que nos quedaremos en esta tesis, es con la naturaleza de los números y de su relación con el entorno, para así poder responder a la pregunta planteada. Vamos a descubrir si las matemáticas influyen en la formalidad del mundo, si le dan un orden, si hacen de todo lo que nos rodea, un espacio regular y con sentido, y de esta forma, poder mirar el mundo con otra perspectiva.

¿Cuál fue el fin del hombre al utilizar las matemáticas?

Con la invención de la escritura, el hombre tuvo que dar un paso importante, que fue el de escribir los números. Los primeros números escritos, eran simplemente signos iguales que se limitaban a contar hasta llegar al número que uno buscaba. Por ejemplo, el número uno se escribía ' , el dos '', el cinco ''''', el ocho '''''''', y así hasta llegar al número que se deseaba escribir. Si ocupáramos este método hoy en día, se nos haría muy difícil contar números más grandes, así que por la misma razón, se les empezó a separar en grupos, preferentemente de a diez. Luego se invento un símbolo para lo diez grupos de diez, o sea el cien, y así con los diez grupos de cien, etc. Los babilónicos fueron los primeros en utilizar este sistema, y en las primeras etapas de su desarrollo, los griegos usaron un sistema semejante al de los babilónicos, pero en épocas posteriores se generalizó un método alternativo. Se recurrió a otro sistema de orden de los números, el de las letras del alfabeto. Los griegos serían los que usarían los números irracionales, más precisamente Pitágoras. El cero lo comenzaron a usar los hindúes por el año 500, y denominaron a este símbolo Sunya, que quiere decir "vacío". Si siguiéramos relatando la historia de las matemáticas, nos encontraríamos con una serie de cambios a través del tiempo.

En la filosofía a través de la historia, Platón estudiaba ya a los objetos matemáticos, y mas adelante Aristóteles estudió la lógica y temas relacionados con el infinito. La misma filosofía Griega estuvo muy influida por el estudio de la geometría, hasta llegaron a opinar que el "1" no era un número, sino más bien, una unidad de medida, y el "3" representaba 3 unidades, y por ende, era un número. También se pensó que el "2" tampoco era un número, sino mas bien el concepto de "par". El lenguaje matemático es hoy en día imprescindible para responder a la naturaleza y para profundizar nuestro saber.

El pensamiento matemático se enriquece a su vez con nuevas estructuras y problemas. Pitágoras afirmaba que el número es la ley del universo. Para Galileo y para gran número de científicos, el gran libro del cosmos está escrito en lenguaje matemático.

Para Einstein, el principio verdaderamente creador está en las matemáticas. Todo esto, implica que ha habido un fuerte desarrollo, ya comenzado hace siglos, acerca del tema de las matemáticas y de su trascendencia en el mundo. Pero, es importante aclarar, antes de adentrarnos en el tema principal, cuál es la formalidad de este mundo.

¿Qué es una estructura formal?

Una estructura del mundo es simplemente una colección de individuos y de relaciones entre ellos. Por ejemplo, la forma natural de agruparse de las células, el movimiento de la tierra alrededor del sol, los órganos del ser humano, las células de las plantas y de los objetos que nos rodean, todo este orden, todo esto que nos parece que algo o alguien lo puso en su lugar correspondiente, lo llamaremos estructura, sin saber de donde proviene, pero trataremos de explicar en esta tesis, el porqué de esa estructura.

Para Aristóteles, la formalidad es el alma y la naturaleza, y esta ultima, es el principio del movimiento que dirige a los seres hacia su perfección. En el concepto de "naturaleza" hay coincidencia entre lo que decían Aristóteles y Platón, pues se reconoce un principio absoluto de perfección y de armonía que dirige todas las cosas hacia un fin y da sentido al Universo. A este sentido, a esta perfección, a este fin último, le daremos una conexión con el tema de las matemáticas. ¿Como podemos unir esta ciencia, que es totalmente abstracta y que trabaja con entes ideales, al mundo empírico, que es la realidad física, todo lo que podemos ver, tocar, escuchar, oler, y hasta ver? Esa es nuestra encrucijada.

Desarrollo:

Descubrimiento y creación:

Desde que la humanidad aprendió a contar, los seres humanos se sintieron intrigados por la naturaleza de los objetos matemáticos como números o puntos, líneas y figuras. Se iniciaba así un debate que todavía continúa. Partiremos hablando de las posturas que hay acerca de este tema, y nos encontramos con dos totalmente opuestas, pero ambas muy bien argumentadas y ejemplificadas, aunque no totalmente convincentes.

Una, es la que dice que las matemáticas fueron descubiertas a partir de la observación de la naturaleza; la otra propone que simplemente éstas son producto de la creación humana, es decir, que son inventadas. Partiremos con la postura de que el hombre es descubridor;¿Pueden haber sido las matemáticas inventadas por el hombre, si en diferentes culturas como Egipto y Babilonia se concibieron los mismos conceptos de número?

Este puede ser un argumento de que las matemáticas fueron descubiertas por estas culturas, y es muy difícil afirmar que estas culturas hayan inventado lo mismo al mismo tiempo, y más sin tener relación alguna entre ellas. Entonces no queda otra opción que decir que Babilonia, China y Egipto, descubrieron lo mismo, en las observaciones que hicieron de la naturaleza y del universo. Ahora bien, quizá este argumento sea bueno, pero no es totalmente convincente, ya que quizás, pudo haber sido coincidencia que diferentes culturas hayan tenido sistemas numéricos parecidos. Quizá fue una casualidad ya que podemos decir que las matemáticas nacieron a partir de la necesidad del ser humano de desarrollarse y de construir un elemento que haría progresar a estas culturas. Pero lo que me diría un realista matemático; Que no hablemos de casualidad, mas bien hablemos de “Sincronicidad”. Por ejemplo, en la misma creación del avión, cuando se estaba creando en Estados Unidos, se hacía lo mismo en otras partes del mundo. ¿Por qué no pudo pasar lo mismo aquí?

Quizá estas culturas pudieron haber creado las matemáticas de manera simultánea o sincrónica, y puede haber sido, que ellas ya estaban preparadas para crear este nuevo concepto, el cual sería un nuevo aporte para su sociedad, como el avión (siguiendo el ejemplo anterior). La verdad es que podemos inferir muchas cosas, pero mientras no tengamos una explicación clara y coherente, no podemos sustentarnos en un argumento que no tiene de donde afirmarse. Lo que resulta claro, es que el grado de desarrollo alcanzado por estas culturas, tenía como peldaño fundamental en su escalera infinita, el descubrimiento y desarrollo del pensamiento matemático, sin el cual su avance se habría estancado e impedido el crecimiento intelectual, social, económico y cultural de estos antiguos grupos humanos.

Otro argumento (el cual profundizaré mas adelante), es que las matemáticas se descubrieron pues son una actividad natural del cerebro humano. Es decir, el hecho de que el hombre tenga la necesidad de contar, implica que esta ciencia no fue inventada por él, más bien, esta fue descubierta por él.

Ahora bien, nos centraremos en la otra postura, la que dice que las matemáticas fueron una creación del hombre.Cualquier persona que alguna vez haya estudiado matemáticas, puede notar que hay una cantidad significante de conceptos, axiomas, teoremas, definiciones que no tienen relación alguna con la realidad, ni siquiera una aplicación a ésta. Por ejemplo, los vectores representados en cuarta o quinta dimensión. Nuestra realidad se mueve solamente en tres dimensiones, por lo tanto es muy difícil que el ser humano haya descubierto a los vectores en quinta dimensión. Otro ejemplo es el de los números imaginarios, ¿qué explicación o comprobación, basándose en la realidad podemos darle a los números imaginarios? ¿Y a las raíces cúbicas? ¿O a cualquier número decimal infinito?

¿Existen ejemplos del universo que puedan aplicarse a estas situaciones? La verdad es que no encontramos nada relacionado con todos estos conceptos matemáticos, solamente los podemos comprobar mediante la lógica. Por lo tanto nuevamente podemos afirmar que es muy difícil que la matemática haya sido descubierta.

Un día, estando en clases de matemática, el profesor nos empezó a hablar de los “sistemas de ecuaciones”, y nos mostró un sistema en donde habían mas de 3 variables. Por lo que conocemos, es posible llegar a graficar ecuaciones con hasta 3 incógnitas, es decir, una ecuación con “y”,”x” y “z”. Pero, ¿como es posible graficar una ecuación que además de esas variables, tenga otras? Mi duda se la hice saber al profesor, y me respondió que era imposible graficarla, que no había forma, y que si hubiese, tendría que ser en otra dimensión. De todo este debate, concluí que hay dos opciones; O que el hombre creó las matemáticas, pero que no son perfectas, así que a tratado de aumentar su complejidad, llegando así a ecuaciones con más de 3 incógnitas, o que simplemente, las matemáticas fueron descubiertas, y que nos falta mucho por conocer en nuestro mundo, y lo mas probable es que sí se puedan graficar, pero aún no conocemos el como, por lo que buscamos la respuesta en la existencia de otras dimensiones.

Las Matemáticas y el Conocimiento:

Las matemáticas, desde que el hombre las conoce, han tenido como función principal demostrar y verificar todos los procesos del mundo en el que vivimos, del mundo empírico. Como por ejemplo, en la física, y un ejemplo tan simple, como cuando una persona empuja una pelota. Podríamos explicar la velocidad de la pelota, el peso, y hasta la fuerza que el hombre ejecuta sobre ella, pero, ¿Qué pasa entonces con el ejemplo anterior? Y es aquí donde las matemáticas vuelven a partir de cero.

Si se supone que explicamos nuestro mundo, a través de números, gráficos, y ecuaciones, ¿Qué estaríamos demostrando con enunciados matemáticos mas complejos, como los son los números imaginarios, los irracionales, los gráficos en diferentes dimensiones? ¿Qué fenómenos se quieren demostrar a través de eso?

Ahora bien, sabemos que tenemos dos opciones más complejas que al principio de esta tesis: Una es, que el hombre es creador de las matemáticas, y que las invento para poder explicar el mundo en el cual habita. Los hombres prehistóricos necesitaban las matemáticas para poder contar, repartir, distribuir, y hoy en día se utilizan para explicar ciencias, como lo son la química, la biología, la física. Pero si creyéramos en esta teoría, nos surgiría un problema, y es el hecho de que las matemáticas se han puesto más complejas a lo largo de la historia del hombre, y más difíciles de explicar. ¿Cómo le pedimos a alguien que reparta una torta raíz de 3 veces? O, ¿Cómo le pedimos a una persona que grafique la ecuación “x + y + 3z + 3n = 13 “?
Voy a dar un ejemplo un poco mas preciso;

Si quisiéramos graficar un cubo en un plano cartesiano, tendríamos que tener 3 incógnitas en una ecuación, como por ejemplo “x”, “y” y “z”. Sabemos que nuestro mundo se mueve en 3 dimensiones, alto, largo y ancho. Ahora, a esas 3 dimensiones en la que vivimos, le pondremos los nombres de “x” largo, “y” ancho y “z” alto, tendríamos que la ecuación sí es una forma de demostrar el cubo que queríamos graficar.

Ahora bien, si tuviéramos una ecuación de 4 incógnitas, nos faltaría otra dimensión, y que en el mundo que el hombre conoce, no existe. De esto, podríamos pasar a nuestra otra teoría.Ya sabemos que si el hombre hubiese sido creador de las matemáticas, habría sido un muy mal creador, puesto que estas se le escaparon de las manos y dejaron de ser una demostración del mundo empírico. Pero, ¿Qué pasaría si el hombre fuese descubridor?

Nos encontraríamos con otro problema, pues al saber que el hombre descubrió las matemáticas y que no las creó, nos preguntaríamos porqué las matemáticas demuestran fenómenos que hoy en día no conocemos en nuestro mundo, y podríamos inducir, que nos faltan muchas cosas por conocer, demasiadas. Como por ejemplo, otras dimensiones, y nos daríamos cuenta de que el mundo que hoy en día conocemos, está en pañales. En otras palabras, si el hombre se esforzara un poco más por descubrir las matemáticas al 100 %, descubriría el sentido del universo. Lo tenemos a la vuelta de la esquina, y las matemáticas, son la vía para llegar a el.

¿Las matemáticas son solo una herramienta para describir el mundo físico? ¿O son algo más?

Ahora bien, con respecto a la formalidad del mundo, y a la relación que este tiene con las matemáticas, daremos el siguiente ejemplo, y lo haremos mediante una comparación entre esta ciencia, con el mundo empírico:

Observemos a un ser humano, observemos su estructura biológica, partiendo de lo más pequeño y lo más común, que es el átomo. El cuál, tiene una estructura, tiene un núcleo, una corteza, protones y neutrones. Si juntamos dos o más átomos, formaremos una molécula, la cuál también tiene una estructura. Si juntamos muchas moléculas, formaremos una célula, que al igual que el átomo y la molécula, también tiene una forma. Tiene organelos, citoplasma, retículos, membrana plasmática, etc. ¿y que pasa si juntamos una cantidad exacta de células? Formaremos un órgano, ya sea el corazón, un pulmón, el hígado, el cerebro, etc., y si juntamos todos estos órganos, tendremos un cuerpo humano. Como vimos al analizar al hombre, nos encontramos con que tiene una estructura, se agrupa sin saber como y no solo es sustancia sin forma, sino que tiene una figura ya determinada, pero en esta tesis, a estructura nos referiremos al orden y a la proporcionalidad de todas las cosas.

Y pasa lo mismo con las plantas, los animales, y con todo lo que nos rodea en la tierra y en el espacio. Por ejemplo, el cuadro de Leonardo Da Vinci, el “hombre de Vitruvio”, es un claro ejemplo del equilibrio, de la belleza ajustada a proporciones. ¿Cómo le damos explicación a la relación Áurea? Esta razón, dice que en todo rectángulo, si dividimos el lado más largo por el más corto nos resultara el número Fi (1,61803…).O también como explicar el número Pi, que es igual en todas las circunferencias. En mi parecer, no es sólo coincidencia. Así que, perfectamente, podemos hablar de formalidad en el universo, como una agrupación, proporcionalidad, equilibrio o simetría de las cosas.

Si analizamos al mundo parte por parte, objeto por objeto, nos daremos cuenta que sí tiene una demostración matemática, y así nos surge nuestra primera teoría (valida solo para esta tesis). “Todo el universo empírico puede ser explicado a través de las matemáticas”.Pero viajemos ahora al mundo ideal, al mundo del pensamiento, de lo abstracto. ¿Cómo es posible demostrar ahora este mundo ideal a través de las matemáticas?

Gracias a Platón, sabemos que existe una dualidad entre lo abstracto y lo empírico (que también es una verdad incierta), y que esta dualidad, forma el mundo en el cual vivimos, pero si ya hicimos nuestra teoría de que “todo puede ser explicado a través de las matemáticas, ¿es posible explicar las ideas a través de esta ciencia?

Matemáticamente hablando, ¿Cómo demostramos un sentimiento, o una idea, o un mismo número? ¿Se puede demostrar todo con física y matemática? Si nos ponemos a pensar en esto, no hay manera de hacerlo, o por lo menos aún no se ha encontrado, pero es importante cuestionárselo, ya que si existe una forma de explicar la mitad de nuestro mundo que vendría siendo todo lo empírico, debería también existir una forma de explicar la otra parte del mundo, que es todo lo abstracto, y que quizá de esta forma, lograríamos encontrar una respuesta a la gran pregunta; ¿De donde venimos?

Muchos filósofos lo han intentado, y han fracasado. Platón nos dio la dualidad de los mundos, pero no pudo explicar ninguno de los dos, y una opinión muy subjetiva, que vendría acercándonos a la respuesta de esta tesis, es que para explicar nuestro mundo, no es posible hacerlo por separado entre lo empírico y lo racional, si no mas bien haciendo una unión entre ambos universos, y buscar una explicación de los dos unidos. La objetividad, la unión, es la única verdad.

Pero aún así, ¿Cuál es el fundamento lógico de las matemáticas?

Paradoja de Russell:

El matemático, Russell, trató de darle un fundamento lógico a esta ciencia, pero en vez de eso, nos dejó con un nuevo problema, que provocó una “fisura lógica”, es decir, una inestabilidad en el gran edificio de las matemáticas, que podría un día derrumbarse.

Russell habla de los conjuntos, que son todas las agrupaciones, como un grupo de cucharas, un grupo de autos, de personas, etc. Y dice que hay dos tipos de conjuntos, los que se contienen a si mismos como miembros del grupo, y los que no. De los conjuntos que se contienen a si mismo, un ejemplo podría ser un grupo de cosas pensables, pues este conjunto a su vez es una cosa pensable y por lo tanto se contiene a si mismo. Un ejemplo del otro tipo sería un conjunto de estudiantes, pues el conjunto en si no es un estudiante y por lo tanto no pertenece al conjunto como miembro. Ahora bien, ¿Dónde está el problema?

Russell decidió considerar el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de si mismos, como el ejemplo que dimos anteriormente de las “cosas pensables” y creó un enorme conjunto nuevo al que le llamó R. Entonces R tendrá entre sus miembros el conjunto de todas las “cosas pensables”, el conjunto de “los estudiantes” y muchísimos más. Pero, ¿Es R miembro de sí mismo?

Si la respuesta es sí, R tendría que cumplir con la característica de los miembros del grupo, que es todos los conjuntos no son miembros de si mismos. R entonces es miembro de sí mismo, pero a la vez, según la característica de los miembros del conjunto, no es miembro de si mismo, por ende, quedaría una contradicción que no nos podría decir la respuesta.

Ahora bien, si la respuesta fuera no, R no es miembro de sí mismo, y cumpliría con la característica de que todos los conjuntos no son miembros de si mismos, y por lo tanto, pasaría a ser un miembro de si mismo. Nuevamente tenemos una contradicción que nos deja en una encrucijada.

Para explicar mejor esta paradoja, se contó la siguiente historia:
En un pueblo lejano había un barbero. Un día el rey de ese pueblo se dio cuenta de la falta de barberos en el pueblo, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Un día el rey llamó al barbero para que lo afeitara y él le contó su problema:

En mi pueblo soy el único barbero. Si es que yo me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo que soy yo. Pero si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar, pero yo soy el único barbero en el pueblo. El rey pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero vivió por siempre feliz.

Russell, a través de su paradoja, dejo en claro que no puede existir un conjunto que se contenga a si mismo, pero ¿donde está su error? Russell creyó que su paradoja explicaba muchas cosas en la vida, que tenía consecuencias tan profundas que podían llegar a influir en nuestra visión de las cosas y poner límites a actividades como la ciencia, la medicina, incluso a nuestras propias creencias, pero se equivocó, pues esta paradoja solo es valida en la teoría de conjuntos, y es aquí donde se ponen los limites. Russell generalizó y ese fue su grave error. Incluso intentó resolverla creando la teoría de Tipos, pero en esta nueva teoría le surgieron nuevas paradojas. Aún así, Russell fue un aporte para la verificación lógica de la matemática, pues sabemos que esta ciencia es puramente de conjuntos.

Esto nos hace pensar, que las matemáticas no tienen un fundamento lógico, y por ende, son inestables e imperfectas, o que simplemente, esta paradoja está mal y que hay otra forma de fundamentar lógicamente a las matemáticas. Pero aún así, no profundizaremos más en este tema porque nos alejaríamos del tema principal que es Descubrimiento o Creación.

El mundo abstracto:

Sabemos que las matemáticas son completamente abstractas, y también sabemos que para poder abstraer algo, siempre se parte de algo concreto o de algo empírico. Pero que pasa si abstraemos algo y luego podemos predecir algo físico o algo empírico, como por ejemplo las leyes de Newton, las cuales no tuvieron comprobación empírica, sino que eran simplemente predicciones establecidas matemáticamente para algo que iba a pasar físicamente. Si lo vemos de ese modo, ¿serán lo mismo abstracción y mundo físico? Dicho de otra forma, ¿No serán las matemáticas y el mundo empírico lo mismo? ¿Cómo sabemos que como principio de todo está la experiencia?

A través del mundo empírico, podemos hacer muchas deducciones o teoremas matemáticos, pero ¿que pasa cuando ocurre al revés, que de las matemáticas podemos hacer deducciones y predicciones del mundo empírico? Nos quedaríamos con otro problema, ¿Llegaron antes las ideas o el mundo físico? Una vez mas parece que no son cosas separables, que lo físico son proyecciones de ideas matemáticas como Platón creía, pero también puede ser al revés, que las matemáticas son proyecciones del mundo físico.

Einstein dijo: "Si la matemática prima sobre la realidad, no es exacta. Si es exacta, no prima sobre la realidad". El hecho de que el mundo real y el mundo descrito por la Matemática coincidan, es algo tremendamente bueno y útil para nosotros, pero esta coincidencia es simplemente una aproximación.

Para poder responder mejor todas estas preguntas, nos iremos al origen del pensamiento matemático.

Génesis de las matemáticas:

Para poder responder a nuestra pregunta, tendremos que volver a la génesis de las matemáticas, al momento en que surgieron.
¿Cómo lo hicieron? Sólo sabemos que las matemáticas, que surgen a partir de axiomas, fueron recogidas por el hombre prehistórico, pero estos axiomas, ¿Surgieron de la nada, o el hombre los puso así?

Sabemos que un Axioma es una verdad evidente que no necesita demostración, y en este caso, las matemáticas pueden describirse como un edificio cuyo primer piso está representado por axiomas. Por ejemplo, si sumamos 3 + 3 + 3 estamos sumando 3 veces 3 y lo podemos indicar como 3 x 3, y obtendríamos un axioma que dice “La suma da origen a otra operación matemática, la multiplicación". Así se construye la matemática, a través de axiomas que no tienen una comprobación empírica, porque ¿Cómo demostramos que una suma también puede ser una multiplicación?

Ahora bien, el hombre primitivo, cuando dejó de ser cazador y recolector y se volvió sedentario, al quedarse en un solo lugar, descubrió lo valioso de sus pertenencias, y con ese descubrimiento, también se dio origen a una forma de contar sus cosas y por lo tanto podemos considerar que es ahí donde se inicia la Matemática, con la necesidad del hombre por contar sus cosas preciadas. Lo pudo haber hecho a través de piedras, o rayando en madera, pero ese concepto surgió de una necesidad humana. Entonces, podemos decir que los números solo existen si es que existe la necesidad de contar, y de eso podemos deducir que la acción de contar fue el punto de inicio para las matemáticas en el mundo. Y esta acción de contar, no fue una creación del hombre, si no que este “descubrió” tal necesidad. Podríamos decir que las matemáticas, al ser una necesidad del hombre, fueron descubiertas por el ya que son una actividad natural del cerebro humano, como lo es contar, distribuir, agrupar, etc. Contar significa numerar las cosas como unidades, por lo tanto podríamos decir que el hombre cuenta observando la realidad, pero ¿hay unidades realmente en la realidad? ¿Cuáles son dichas unidades?

Por ejemplo, si quisiéramos contar 10 cosas que hayan en la realidad, ¿a donde acudiríamos? Contaríamos o 10 manzanas, o 10 personas, pero difícilmente lo haríamos con cosas diferentes, como 5 lápices, 2 hojas y 3 naranjas, entonces podemos decir que el hombre además de contar las cosas, las agrupa en cosas iguales o similares, formando así conjuntos en la realidad. Es por eso que las matemáticas no son solo una ciencia que el hombre ocupa para describir situaciones, son mucho más que eso. Son una forma de agrupar que tiene el cerebro para poder hacer más entendible el mundo caótico que se nos entrega. Sin las matemáticas, sin esta forma de agrupar y de contar cosas, estaríamos en el caos. Sin embargo, nos surgiría de esta pequeña conclusión, otra pregunta aún más compleja.

¿Las matemáticas son la expresión del mundo o el mundo es la expresión de las matemáticas?

Nos adentramos en el momento culmine de nuestra tesis, sabiendo que la respuesta a tal pregunta podría ser una respuesta final para la pregunta de si las matemáticas fueron descubiertas o creadas por el hombre.

En primer lugar, sabemos que las matemáticas tienen una relación establecida con la naturaleza, y uno de los aspectos más conocidos de la utilidad práctica de esta ciencia, es su gran capacidad para la modelización de fenómenos naturales, ya que el estudio de esos modelos permite entender mejor, explicar, e incluso predecir nuestro comportamiento. A modelización me refiero a la forma de demostrar, verificar y comprobar fenómenos que pasen en el mundo empírico.

Ahora bien, si las matemáticas fueran una expresión del mundo, serían la forma que tiene el hombre para organizarlo, si el mundo estuviese en un caos, en un desorden, las matemáticas serían las que lo ordenan, las que le dan un equilibrio, un sentido. Es por eso que aquí uniremos el concepto formalidad con esta ciencia.

Existe un mundo, el cuál es caótico, pues tiene objetos repartidos por diferentes lugares, inclusive en los lugares más inhóspitos, y este desorden, es ordenado y luego comprendido gracias a las matemáticas. No existirían las proporciones, ni los conjuntos si no existiera esta ciencia. Todo el orden y el sentido del mundo existen gracias a las matemáticas. Es el mismo ejemplo en la teoría Aristotélica, que dice que el mundo caótico, es ordenado gracias a los sentidos, en este caso, el mundo está en un desorden, pues no sabemos porqué cada ser humano tiene 2 manos, 2 ojos, o porqué los planetas giran alrededor del sol, o porqué tendemos a agrupar cosas iguales, o a sacar cosas de un conjunto, o a sumarle. Quizá seguiremos sin saberlo, sin saber el sentido, pero matemáticamente hablando, sabemos porqué todo es así.

Pero que pasaría si el mundo fuese una expresión de las matemáticas.

Sería todo mas complejo y mas caótico aún, porque es lo mismo que preguntarse si el Arte representa al mundo o el mundo al Arte, o si las ideas priman por sobre lo empírico. Además, si dijéramos que el mundo es la expresión de las matemáticas, éstas por lo tanto tendrían que ser perfectas, sin fisuras ni errores, a no ser que el mundo no fuese perfecto.

Como vemos, hay una relación incuestionable entre el mundo y las matemáticas, una relación que yo puedo generalizar y decir que es la misma relación que hay entre el mundo empírico y el mundo abstracto. Porque para decir que existe una idea, tiene que existir un ente empírico, por ejemplo, para decir que existe la idea de vaso, tiene que existir un vaso. En esto estamos de acuerdo, ¿pero la idea de un Dios? O ¿la idea de un Unicornio? No sabemos si ambos existen, pero la idea de ellos ya está. Quizá pase lo mismo con las matemáticas, que no sabemos si hay fenómenos empíricos que existan, como por ejemplo otras dimensiones, pero las ideas de ellas en una expresión matemática, si existen.


Materias primas de las matemáticas:

¿De qué están formadas las matemáticas? ¿Cuál es su base?

Hay dos opiniones acerca de los componentes primarios de las matemáticas; Uno dice que están hechas principalmente de los hechos del mundo empírico, es decir, sólo lo que existe en el mundo empírico es parte de las matemáticas. Por ejemplo, decimos que existen los cubos, las esferas, los cuadrados y los rectángulos en las matemáticas porque se encuentran en el espacio.
La otra opinión dice que las demostraciones y los teoremas formulados son la materia prima de las matemáticas, y que cada teorema sirve para separar una demostración de otra. La matemática se formaría de axiomas.

Sin embargo, podemos decir que la materia prima de las matemáticas, son los teoremas que se hacen a partir de los hechos del mundo empírico. Por ejemplo, si observamos una circulo dibujado en un papel, podríamos deducir que este círculo tiene un radio, y que no tiene vértices ni lados, y por ende podríamos hacer diferentes definiciones de este. Por lo tanto, los axiomas matemáticos no surgieron de la nada, no son simplemente axiomas, si no mas bien, son observaciones del hombre, descripciones de lo que esta viendo.
Pero por ejemplo, el postulado geométrico que dice “A través de dos puntos cualquiera existe solamente una línea”, es un axioma, pues no hay duda de que eso es realmente cierto, y eso se comprobó con la observación de la naturaleza, pero ¿que pasaría si nos mostrarán que por 2 puntos pasan mas de una línea? ¿Estaría mal el mundo que nos mostró tal fenómeno o las matemáticas?

Conclusión:

Acercamiento a una respuesta:

“Si todas las mentes inteligentes del Universo desaparecieran, el Universo seguiría teniendo una estructura matemática”.MARTIN GARDNER

El hombre, es de cierta manera, descubridor y creador de las matemáticas. En la prehistoria, se dio cuenta que tenía la capacidad de agrupar objetos, de sumarle objetos a un grupo y de sacárselos si quería, tenía la capacidad de contar, y esta capacidad, es la forma en la que el cerebro organiza todo nuestro mundo empírico, y lo hace de tal manera que el hombre no viva en el caos. La capacidad de decir, aquí hay dos manzanas, hay tres lápices, hay 5 libros, se las entrega la mente al hombre, y es por eso que podemos decir que el hombre tubo un descubrimiento, pero un descubrimiento interior, en su mente, y de esta forma se vino a encontrar con las matemáticas. La parte creadora de él, está en el nombrar de estos elementos matemáticos, de crear un lenguaje, una forma ordenada de manipular tanta información que se alberga en el cerebro. Es por eso que las matemáticas si tienen fisuras, y si tienen paradojas y temas que difícilmente tenga una corrección, pero las matemáticas básicas, las matemáticas puras, con las que el hombre comenzó a familiarizarse, son perfectas, y el cambio fue a través del tiempo, y la complejidad que se le ha dado, ha sido cien por ciento a manos del ser humano.

Mientras más avanzamos y nos adentramos en el estudio del universo, mas nos damos cuenta de que siempre se encuentran las matemáticas. Es decir, en esta galaxia, o en otra que esté situada en cualquier parte del universo, la matemática va a estar presente. En el mismo momento en el que el mundo fue creado, la matemática estaba ya instalada, dado que evoluciono de una forma que el hombre puede estudiar con su pensamiento, sólo el hombre la vino a conocer cuando le surgió la necesidad de contar. Con esto podemos pensar que sea quien fuera el creador de nuestro universo, parece haberlo hecho no en una forma desordenada ni azarosa, si no respondiendo a ciertas leyes, escritas en un lenguaje matemático.

En el transcurso de esta tesis, me he dado cuenta de algo. Para poder responder de una manera objetiva esta pregunta, es necesario tener un conocimiento absoluto de lo que son las matemáticas. Yo como un alumno de 3º medio, tengo un conocimiento básico de esta ciencia, solo conozco lo trascendental, pero si uno quisiera poder dar respuesta a la pregunta planteada, es necesario conocer en todos sus ámbitos a las matemáticas, es por lo mismo que la respuesta queda abierta.

La matemática ha estado desde siempre, desde el “big bang” o la creación de Dios, pero estuvo ahí, mucho antes de que el género humano fuese creado. Es por eso, que si algún día nos encontráramos con una civilización de otro lugar del universo, no entenderíamos su forma de comunicación, pero muy probablemente si lo hagamos con sus conceptos matemáticos, ya que son invariables. No importa si el número "1" lo dibujan en una pizarra como lo solemos hacer, pero el concepto "1", lo tienen que tener ellos también en su cerebro, es un aspecto del universo que no se puede separar.Quizá en esta tesis no se haya logrado responder a la pregunta planteada, quizá el lector se haya ido con muchas mas dudas que al principio, pero lo que sí importa, es que con esta tesis se hizo saber que este tema no es de menor importancia. Las matemáticas no son irrelevantes ni pasan desapercibidas por nosotros, al contrario, son tan importantes, que quizás algún día nos ayuden para descubrir nuevas teorías del origen del mundo, nuevas formas de energía, o hasta quizás nuevas ciencias. Lo importante es cuestionarse siempre, ¿las matemáticas son un descubrimiento o una invención? La pregunta queda abierta, y espero que con todos los argumentos que di en esta tesis, se puedan hacer diferentes conclusiones, que nos ayuden mas adelante a contestarla. Simplemente, las matemáticas como herramientas, como una forma de arte o como una ciencia, si son bien estudiadas y manipuladas correctamente, pueden llegar a que el hombre realice grandes obras.












Bibliografía:

Acerca de la paradoja de Russell:
http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russell
Sobre la filosofía de las matemáticas
http://es.wikipedia.org/wiki/Filosofía_de_la_matemática
Acerca de fenomenología de Husserl
http://www.fyl.uva.es/~wfilosof/gargola/1997/sergio.htm
Sobre el concepto de formalidad
http://www.filosofia.org/enc/aca/forma.htm
Comentarios acerca del planteamiento de Husserl: http://hosting.udlap.mx/profesores/miguela.mendez/alephzero/archivo/historico/az22/russell.html
Sobre realismo matemático:http://boppeando.blogspot.com/2007/07/quicksand.html Sobre el concepto de estructura: http://www.google.cl/search?hl=es&defl=es&q=define:Estructura&sa=X&oi=glossary_definition&ct=title
Sobre demostraciones lógicas:
http://mesetas.net/turbulencias/notasaparecer.html
Historia matemática
http://www.salonhogar.com/
http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/
Concepto matemático
http://es.wikipedia.org/wiki/Matemática
Libro; Baldor, geometría



AUTOEVALUACIÓN

Categorías:
1. Totalmente en desacuerdo
2. Muy en desacuerdo
3. En desacuerdo
4. De acuerdo
5. Muy de acuerdo
6. Totalmente de acuerdo


Ahora yo podría enseñar a otra persona a escribir un ensayo filosófico bien fundado.
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Al hacer este trabajo he aprendido algo importante para mí. El análisis de fundamentos filosóficos puedo aplicarlo a otras asignaturas o situaciones extra académicas.
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Aproveché todo el tiempo de clases para avanzar y hacer consultas a mi profesora y compañeros. Llegué a la hora, siempre traje mi material, publiqué en el blog,
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Esta actividad me resultó de fácil realización.
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Fue útil para mí hacer un borrador de primera entrega para que mi profesora lo evaluara críticamente, antes de entregar el ensayo definitivo. Sus comentarios iluminaron problemas en la fundamentación que yo no había visto.
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He retroalimentado por escrito en el blog las tesis de mis compañeros, al menos tres veces durante el semestre.
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Las explicaciones y preguntas que me hizo la profesora durante las clases me sirvieron para clarificar mis ideas y llevarlas a un buen nivel de explicitación.
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Luego de escribir mi ensayo de fundamentación me doy cuenta de que ahora comprendo los alcances filosóficos de mi pregunta existencial.
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Me parece que sería bueno que en el futuro siguieran enseñando a los alumnos del Electivo de Teoría del Conocimiento a realizar tesis filosóficas
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Me sentí motivado para escribir mi ensayo.
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Mi trabajo final es sistemático y de calidad
Pienso que fue bueno para mi trabajo poder comenzar a partir de una pregunta existencial que surgió de mis propios intereses.
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Tengo claro qué hacer para elaborar un ensayo bien fundamentado: sé en qué consiste, para qué sirve y cómo hacerlo.
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Expectativa de logro:
En mi Tesis voy a obtener un_____68_________ como nota final.